สมการเชิงอนุพันธ์อันดับต้นและปัญหาค่าขอบเขต: จากสมการอันดับสูงไปสู่ระบบสมการอันดับหนึ่ง

การเปลี่ยนผ่านจากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสูงไปสู่ระบบที่เป็นสมการอันดับหนึ่ง แสดงถึงการเปลี่ยนแปลงมุมมองอย่างลึกซึ้ง แทนที่จะติดตามความเร่งของตัวแปรเดียว เราจะพัฒนาเวกเตอร์ในพื้นที่สถานะ เวกเตอร์ในพื้นที่สถานะ ที่แสดงตำแหน่ง ความเร็ว และอนุพันธ์ลำดับสูงอื่น ๆ พร้อมกัน สมการเชิงเส้นอันดับที่ $n$ ใด ๆ สามารถแยกออกเป็นระบบที่เชื่อมโยงกันของสมการอันดับหนึ่งจำนวน $n$ สมการ ทำให้เราสามารถใช้พลังของพีชคณิตเมทริกซ์ได้อย่างเต็มที่

1. วิธีลดลำดับ

เพื่อเปลี่ยนสมการสเกลาร์อันดับที่ $n$ ให้เป็น $y^{(n)} = F(t, y, y', \dots, y^{(n-1)})$ เราจะกำหนดตัวแปรช่วยเหลือชุดหนึ่ง:

$$x_1 = y, x_2 = y', \dots, x_n = y^{(n-1)}$$

การแทนที่นี้นำไปสู่สมการเวกเตอร์ $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(t, \mathbf{x})$ สำหรับออสซิลเลเตอร์กลศาสตร์คลาสสิกที่อธิบายโดย $$mu'' + \gamma u' + ku = F(t)$$ การแปลงนี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้:

$x_1' = x_2$
$x_2' = -\frac{k}{m}x_1 - \frac{\gamma}{m}x_2 + \frac{1}{m}F(t)$

ตัวอย่างที่ 1: การแปลงระบบสปริง-มวล

ปัญหา

การเคลื่อนที่ของระบบสปริง-มวลบางระบบถูกอธิบายด้วยสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง $u'' + \frac{1}{8}u' + u = 0$ จงเขียนสมการนี้ใหม่เป็นระบบของสมการอันดับหนึ่ง

การแทนที่

ให้ $x_1 = u$ (ตำแหน่ง) และ $x_2 = u'$ (ความเร็ว) ดังนั้น $x_1' = x_2$

รูปแบบเมทริกซ์

แทนลงในสมการเชิงอนุพันธ์: $x_2' + \frac{1}{8}x_2 + x_1 = 0 \Rightarrow x_2' = -x_1 - \frac{1}{8}x_2$

$$\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1/8 \end{pmatrix} \mathbf{x}$$

2. ระบบที่มีปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพ

แม้ว่าการลดลำดับจะเป็นข้อสะดวกทางคณิตศาสตร์สำหรับสมการเดี่ยว แต่ระบบที่มีสมการหลายสมการเกิดขึ้น โดยธรรมชาติ ในสภาพแวดล้อมที่ซับซ้อน:

ระบบกลศาสตร์: ระบบที่มีมวลหลายตัว (เช่น รูปที่ 7.1.1) มีแรงที่เชื่อมโยงกัน โดยที่การเคลื่อนที่ของมวลหนึ่งส่งผลต่ออีกมวลหนึ่งผ่านกฎของฮุก
ถังที่เชื่อมโยงกัน: การไหลของของเหลวระหว่างถัง (รูปที่ 7.1.6) พึ่งพาหลักการคงที่ของมวล ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของเกลือในถังที่ 1 ขึ้นอยู่กับความเข้มข้นในถังที่ 2
วงจรไฟฟ้า: โดยใช้ความสัมพันธ์เชิงโครงสร้าง $$V = RI, C \frac{dV}{dt} = I, L \frac{dI}{dt} = V$$ เราสร้างระบบที่อธิบายการเปลี่ยนแปลงพร้อมกันของแรงดันและกระแสไฟฟ้าผ่านตัวเหนี่ยวนำ (L) ตัวเก็บประจุ (C) และตัวต้านทาน (R)

🎯 หลักการสำคัญ

โดยการพิจารณาอนุพันธ์เป็นตัวแปรอิสระในเวกเตอร์ เราจะเปลี่ยนความซับซ้อนของการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลงให้กลายเป็นการหมุนและขยายเชิงเรขาคณิตในพื้นที่สถานะ

คำถามที่ 1

แปลงสมการ $u'' + 0.5u' + 2u = 0$ เป็นระบบสมการอันดับหนึ่ง ระบบที่ถูกต้องคืออะไร?

$x_1' = x_2, x_2' = -2x_1 - 0.5x_2$

$x_1' = x_2, x_2' = 2x_1 + 0.5x_2$

$x_1' = -0.5x_1, x_2' = -2x_2$

$x_1' = x_2, x_2' = -0.5x_1 - 2x_2$

คำถามที่ 2

สำหรับปัญหาค่าเริ่มต้น $u'' + 0.25u' + 4u = 2\cos(3t)$ ที่ $u(0) = 1, u'(0) = -2$ ค่าเริ่มต้นที่ถูกแปลงสำหรับเวกเตอร์ $\mathbf{x}(0)$ คืออะไร?

$x_1(0) = 1, x_2(0) = -2$

$x_1(0) = -2, x_2(0) = 1$

$x_1(0) = 1, x_2(0) = 0$

$x_1(0) = 4, x_2(0) = 0.25$

คำถามที่ 3

ในระบบที่มีถังเชื่อมโยงกัน (รูปที่ 7.1.6) หากถังที่ 1 ระบายน้ำไปยังถังที่ 2 ทำไมสมการถึงกลายเป็น 'เชื่อมโยงกัน'?

เพราะอัตราการเปลี่ยนแปลงในถังที่ 2 ขึ้นอยู่กับความเข้มข้นของเกลือในถังที่ 1

เพราะค่าคงที่แรงโน้มถ่วงเหมือนกันสำหรับทั้งสองถัง

เพราะปริมาตรรวมของน้ำต้องคงที่ตลอดเวลา

เพราะมีถังเดียวเท่านั้นที่มีแหล่งเกลือภายนอก

คำถามที่ 4

ส่วนประกอบใดในวงจร RLC ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์อันดับหนึ่ง $L \frac{dI}{dt} = V$ บ่อยครั้ง?

ตัวเหนี่ยวนำ

ตัวเก็บประจุ

ตัวต้านทาน

แหล่งกำเนิดแรงดัน

คำถามที่ 5

หากเมทริกซ์ $\mathbf{A}$ ที่แทนระบบที่มีเมทริกซ์พื้นฐาน $\Psi(t)$ จะคำนวณเมทริกซ์พื้นฐานพิเศษ $\Phi(t)$ ที่มี $\Phi(0) = \mathbf{I}$ อย่างไร?

$\Phi(t) = \Psi(t)\Psi(0)^{-1}$

$\Phi(t) = \Psi(t) + \mathbf{I}$

$\Phi(t) = \int \Psi(t) dt$

$\Phi(t) = \Psi(0)\Psi(t)^{-1}$

ท้าทาย: การวิเคราะห์อีเจนของระบบอันดับสอง

การแปลงและแก้ระบบ

พิจารณาระบบ $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ เมทริกซ์นี้อาจแทนระบบที่มีปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพที่มวล 1 และมวล 2 มีปฏิสัมพันธ์กัน

คำถามที่ 1

หาค่าอีเจนและเวกเตอร์อีเจนสำหรับเมทริกซ์ระบบ

วิธีทำ: แก้สมการ $\det(A-\lambda I) = (3-\lambda)(-2-\lambda) + 4 = \lambda^2 - \lambda - 2 = 0$ ได้ค่าอีเจน $\lambda_1 = 2$ และ $\lambda_2 = -1$
สำหรับ $\lambda_1 = 2$ เวกเตอร์อีเจนคือ $\xi_1 = [2, 1]^T$ ส่วนสำหรับ $\lambda_2 = -1$ เวกเตอร์อีเจนคือ $\xi_2 = [1, 2]^T$

คำถามที่ 2

กำหนดเมทริกซ์พื้นฐาน $\Phi(t)$ ที่สอดคล้องกับ $\Phi(0) = \mathbf{I}$

วิธีทำ: ก่อนอื่น จัดรูปเมทริกซ์พื้นฐานทั่วไป $\Psi(t) = \begin{pmatrix} 2e^{2t} & e^{-t} \\ e^{2t} & 2e^{-t} \end{pmatrix}$
คำนวณ $\Psi(0) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ และเมทริกซ์กลับ $\Psi(0)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$
ดังนั้น $\Phi(t) = \Psi(t)\Psi(0)^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4e^{2t}-e^{-t} & -2e^{2t}+2e^{-t} \\ 2e^{2t}-2e^{-t} & -e^{2t}+4e^{-t} \end{pmatrix}$

คำถามที่ 3

อธิบายความหมายทางกายภาพของสมาชิกที่เชื่อมโยง (-2 และ 2) ในเมทริกซ์ระบบ

วิธีทำ: สมาชิกที่ไม่อยู่บนเส้นหลักแสดงถึง การเชื่อมโยง. ในระบบมวล-สปริง ค่าเหล่านี้สอดคล้องกับค่าคงที่สปริง $k_2$ ที่แบ่งปันระหว่างมวลสองตัว หากค่าเหล่านี้เป็นศูนย์ มวลจะเคลื่อนที่แยกจากกัน (ไม่เชื่อมโยงกัน)